R프로그래밍 기말고사 정리 -03 이산확률분포에서의 중심극한정리

🙏이항 분포

par(mfrow=c(2,2))
n=c(10,100,1000,100000)
length(n)
for(j in 1: length(n))
{ 
n1=30;p=0.1;mu=n1*p;var=n1*p*(1-p) ##모평균은 3, 모분산은 2.7
m=1000
xbar=rep(0,m)
for( i in 1 : m){
x=rbinom(n[j],n1,p)
xbar[i]=mean(x)}
xbar_mu = mean(xbar)
xbar_var= var(xbar);xbar_var
cat("모평균 = ",mu,"표본분포의 평균 = ",xbar_mu,"\n","모분산 = ",var,",var/n = ",var/n[j],"표본평균의 분산 = ",xbar_var,"\n")
hist(xbar,breaks="fd",prob=T)
curve(dnorm(x,mu,sqrt(var/n[j])),add=T)
}

📗표본 분포의 평균과 분산이 점점 모평균, 모 분산/n과 가까워짐.

 

📗m이 충분히 클 때 이항 분포에서 n이 점점 커질수록 표본 분포의 그래프 모양이 정규분포와 가까워진다.

 

✔정리 

1. 이항 분포일 때 중심 극한 정리는 성립한다.
   1. n이 커질수록 표본 분포의 평균과 분산이 모평균,모분산/n과 가까워짐.
   2. 표본분포의 그래프 모양이 정규분포와 거의 일치해짐을 알 수 있음.

---

🙏포아송 분포

par(mfrow=c(2,2))
n=c(10,100,1000,100000)
for(j in 1: length(n))
{ 
lambda=5; mu=lambda; var=lambda
m=1000
xbar=rep(0,m)
for( i in 1 : m){
x=rpois(n[j],lambda)
xbar[i]=mean(x)}
xbar_mu = mean(xbar)
xbar_var= var(xbar);xbar_var
cat("표본의 개수 = ",n[j],"\n","모평균 = ",mu,"표본분포의 평균 = ",xbar_mu,"\n","모분산 = ",var,",var/n = ",var/n[j],"표본평균의 분산 = ",xbar_var,"\n")
hist(xbar,breaks="fd",prob=T)
curve(dnorm(x,mu,sqrt(var/n[j])),add=T)
}

📗포아송 분포에서 표본의 개수가 늘어날수록 표본 분포의 평균과 표본분포의 분산이 모평균, 모 분산/n과 가까워짐을 알 수 있다.

📗m(xbar의 개수)이 충분히 큰 상태에서 n값이 점점 증가할수록 표본 분포의 그래프는 정규분포의 형태를 따라간다.

 

✔정리

1. 포아송 분포일 때 중심 극한 정리가 성립한다.
   1. 포아송 분포에서 표본의 개수(n)가 늘어날수록 표본 분포의 평균, 분산이 모평균, 모 분산/n과 가까워짐을 알 수 있다.
   2. 포아송 분포에서 m(xbar의 개수)가 충분히 큰 상태에서 n값이 점점 증가할수록 표본 분포의 그래프 모양은 정규분포의 형태를 따른다.