R프로그래밍 중간고사 정리-10 (확률 계산 및 그래프-이항분포)

이항 분포

d~: 확률질량함수 , p~ : 누적 분포함수

• 이항분포

○확률 질량 함수

dbinom(x,size,p)## x좌표 n크기 확률
dbinom(0,10,0.3)##P(x=0) 
pbinom(5,10,0.3) ##P(x<=5)
pbinom(5,10,0.3)-pbinom(2,10,0.3) ##P(2<=x<=5)

▲그래프 그리기(plot을 이용)

n=10;p=0.3; x=c(0:n)
y=choose(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x) ##이항분포 그래프 공식
plot(x,y,type="h",col="blue",lwd=4,main="plot을 이용한 그래프")

 

▲P(x)를 이용- R에 내장된 함수 사용

y=dbinom(x,n,p)
plot(x,y,type="h",lwd=4,col="green",main="p(x)를 이용한 그래프")

○누적 분포 함수

• 내장되어있는 F(x)를 이용 

y=pbinom(x,n,p) ##이항분포의 누적분포함수
plot(x,y,type="s",lwd=3,col="red",main="내장되어있는 함수 이용")

정리: 이항분포에서 확률질량함수의 그래프는 type = "h"를 사용, 누적분포함수의 그래프는 type="s"를 사용

 

★이항분포에서 평균과 분산 구하기

평균=np, 분산은 np(1-p)이지만 공식말고 프로그래밍 구현해서 구해보자

n=10; p=0.3; x=c(0:n)
y=dbinom(x,n,p)
ex1=0; ex2=0
for(i in 1: length(x)){
ex1=ex1+x[i]*y[i] ##이항분포에서 확률은 x*p이다.
ex2=ex2+x[i]^2*y[i] ##제곱의 평균을 구해주기 위해서 x^2 * p
}
m=0;v=0;sd=0
m=ex1
v=ex2-ex1^2 ##분산은 제곱의평균-평균의제곱
sd=sqrt(v)
m;v;sd
n*p; n*p*(1-p)

> m;v;sd
[1] 3
[1] 2.1
[1] 1.449138
> n*p; n*p*(1-p)
[1] 3
[1] 2.1

동일한 결과가 나온 것을 알 수 있다!

 

Posion분포

dpois(x,lambda) ##x값과 lambda를 넘겨준다
dpois(0,3) ##P(x=3)
ppois(5,3) ##P(x<=5)
ppois(5,3)-ppois(2,3) ##P(2<=x<=5)

▶그래프 그리기

1. 확률질량함수를 이용

n=10; lambda=3; x=c(0:n)
y=(exp(-1*lambda) *lambda^x)/factorial(x) 
plot(x,y,type="h",lwd=5,col="green",main="p(x)를 계산해서 그래프 그리기)
#이산형 그래프고 확률질량함수니까 type="h"로 그린다

• p(x)를 이용해서 그리기

n=10;lambda=3;x=c(0:n)
y=dpois(10,3)
plot(x,y,type="h",col="red",lwd=5,main="px를 이용해서 그리기")

2.누적분포함수 그래프-F(X)를 이용

y4=ppois(x,lambda)
plot(x,y,type="s",col="yellow",lwd=5,main="F(x)를 이용해서 그리기")
##posion은 이산형 그래프이고 누적분포함수를 이용한 그래프기때문에 type="s"를 사용

★Poison그래프에서 평균과 분산 구하기

평균과 분산이 lambda인건 알지만 프로그래밍으로 구현해서 구해보자.

n=100; lambda=3; x=c(0:n)
y=dpois(x,lambda)
ex1=0; ex2=0
for(i in 1: length(x)){
ex1=ex1+x[i]*y[i]
ex2=ex2+x[i]^2*y[i]
}
m=ex1
v=ex2-ex1^2
s=sqrt(v)
m;v;s

[1] 3 ##평균
[1] 3 ##분산
[1] 1.732051

구한 평균과 분산이 lambda값과 일치한 것을 볼 수 있다.